Наше планета пребывает в постоянном движении, она вращается вокруг Солнца и собственной оси. Земная ось - воображаемая линия, проведенная от Северного к Южному полюсу(они при вращении остаются без движения) под углом в 66 0 33 ꞌ по отношению к плоскости Земли. Люди не могут заметить момент вращения, потому что все предметы движутся параллельно, их скорость такая же. Это выглядело бы точно также, как если бы мы плыли на корабле и не замечали движение предметов и объектов на нем находящихся.

Полный оборот вокруг оси завершается в течении одних звездных суток, состоящих из 23 часов 56 минут и 4 секунд. За этот промежуток то одна, то другая сторона планеты поворачивается к Солнцу, получая от него различное количество тепла и света. Помимо этого вращение Земли вокруг оси влияет на её форму (приплюснутые полюса - результат вращения планеты вокруг оси) и на отклонение при движении тел в горизонтальной плоскости (реки, течения и ветра Южного полушария отклоняются влево, Северного - вправо).

Линейная и угловая скорость вращения

(Вращение Земли )

Линейная скорость вращения Земли вокруг оси - 465 м/с или 1674 км/час в зоне экватора, по мере отдаления от него скорость постепенно замедляется, на Северном и Южном полюсах она равна нулю. Например, для граждан экваториального города Кито (столица Эквадора в Южной Америке) скорость вращения как раз 465 м/с, а для москвичей, живущих на 55-ой параллели к северу от экватора, - 260 м/с (почти в два раза меньше).

Ежегодно скорость вращения вокруг оси снижается на 4 миллисекунды, что связано с влиянием Луны на силу морских и океанических отливов и приливов. Притяжение Луны «тянет» воду в направлении, противоположном к осевому вращению Земли, образуя незначительную силу трения, замедляющую скорость вращения на 4 миллисекунды. Скорость углового вращения остается везде одинаковой, её значение - 15 градусов в час.

Почему день сменяется ночью

(Смена дня и ночи )

Время полного оборота Земли вокруг оси - одни звездные сутки (23 часа 56 минут 4 секунды), за этот временной промежуток освещенная Солнцем сторона сначала находится «во власти» дня, теневая - ночи, а затем наоборот.

Если Земля вращалась бы по другому и одна её сторона была постоянно повернута к Солнцу, то там бы была высокая температура (до 100 градусов Цельсия) и вся вода бы испарилась, на другой бы стороне - наоборот свирепствовали морозы и вода находилась под толстым слоем льда. И первые, и вторые условия были бы неприемлемы для развития жизни и существования человеческого вида.

Почему сменяются времена года

(Смена времен года на Земле )

Вследствие того что ось наклонена по отношению к земной поверхности под определенным углом, её участки получают в разное время различное количество тепла и света, что обуславливает смену времен года. По астрономическим параметрам, необходимым для определения времени года, за точки отсчета берут некоторые моменты времени: для лета и зимы это Дни солнцестояния (21 июня и 22 декабря), для весны и осени - Равноденствия (20 марта и 23 сентября). С сентября по март Северное полушарие повернуто к Солнцу меньшее количество времени и соответственно получает меньше тепла и света, здравствуй зимушка-зима, Южное полушарие в это время получает много тепла и света, да здравствует лето! Проходит 6 месяцев и Земля переходит на противоположную точку своей орбиты и уже Северное полушарие получает больше тепла и света, дни становятся длиннее, Солнце поднимается выше - наступает лето.

Если бы Земля располагалась по отношению к Солнцу исключительно в вертикальном положении, то времен года вообще бы не существовало, ведь все точки на освещенной Солнцем половине получали бы одинаковое и равномерное количество тепла и света.

Угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца (2π радиан в год) настолько мала, что связанные с ней силы инерции не играют существенной роли в ходе процессов, происходящих на Земле. В то же время угловая скорость суточного вращения Земли примерно в 365 раз больше угловой скорости ее годового вращения. Поэтому при составлении уравнения движения тела в системе отсчета, связанной с Землей нужно учитывать не только ньютоновские силы (F ), но и все силы инерции (центробежные и кориолисовы). В то же время часто при грубых количественных оценках характеристик некоторых явлений можно пренебречь и силами инерции, вызываемыми суточным вращением Земли, а систему координат, связанную с Землей, считать приблизительно инерциальной.

Таким образом, в соответствии с проведенными выше рассуждениями сила Кориолиса проявляется при движении по поверхности земного шара благодаря суточному вращению Земли.

В системе отсчета, связанной с Землей, поворот плоскости качаний маятника объясняется действием силы Кориолиса. На полюсе скорость маятника ′при большой длине его подвеса можно считать перпендикулярной вектору угловой скорости вращения Земли ω. Сила Кориолиса в соответствии с формулой К2,Fm ′=ωперпендикулярна плоскости качаний маятника и по правилу буравчика направлена вправо по отношению к относительной скорости движения маятника. Поскольку сила Кориолиса никакой другой силой не уравновешивается, то в результате ее действия и происходит поворот плоскости качаний маятника. Траектория движения маятника будет иметь вид розетки (рис. 5.17). Если маятник установлен на определенной широте ϕ, то в этом случае его плоскость качаний повернется за сутки на угол 2sinπϕ. Таким образом, опыт с маятником Фуко экспериментально подтверждает, что система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной системой отсчета.

Сила Кориолиса, которая действует на тело, движущееся с относительной скоростью ′вдоль меридиана, направлена по отношению к этой скорости вправо в северном полушарии и влево - в южном (рис. 5.18, а ). Если тело движется в плоскости экватора с запада на восток, то сила Кориолиса направлена вертикально вверх, при движении тела с востока на запад она направлена вертикально вниз (рис. 5.18, б ). Сила Кориолиса равна нулю, если тело движется на экваторе в плоскости меридиана, потому что векторы ωи ′параллельны. Примером влияния сил Кориолиса на движение тел у поверхности земного шара является также отклонение свободно падающих тел к востоку (рис. 5.18, в ).

Большую роль играют кориолисовы силы в метеорологических явлениях. Так, отклоняющее влияние кориолисовой силы заставляет мощное океаническое течение Гольфстрим, выходящее из Мексиканского залива через Флоридский

6.Механическая система (МС). Классификация сил, действующих на МС: силы внешние и внутренние, задаваемые (активные) и реакции связей. Свойства внутренних сил.

Как и другие планеты Солнечной системы, совершает 2 основных движения: вокруг собственной оси и вокруг Солнца. С древнейших времён именно на этих двух регулярных движениях основывались расчёты времени и способность составлять календари.

Сутки – это время вращения вокруг собственной оси. Год – обращения вокруг Солнца. Деление на месяцы также находится в прямой связи с астрономическими феноменами – их продолжительность связана с фазами Луны.

Вращение Земли вокруг собственной оси

Наша планета вращается вокруг собственной оси с запада на восток, то есть против часовой стрелки (если смотреть со стороны Северного полюса.) Ось – это виртуальная прямая линия, пересекающая земной шар в районе Северного и Южного полюсов, т.е. полюса имеют фиксированное положение и не участвуют во вращательном движении, в то время как все другие точки расположения на земной поверхности вращаются, причём скорость вращения не идентична и зависит от их положения по отношению к экватору – чем ближе к экватору, тем скорость вращения выше.

Например, в районе Италии скорость вращения составляет примерно 1200 км\ч. Следствиями вращения Земли вокруг своей оси являются смена дня и ночи и видимое движение небесной сферы.

Действительно, создаётся впечатление, что звёзды и другие небесные тела ночного неба движутся в противоположном нашему с планетой движению направлении (то есть с востока на запад).

Кажется, что звёзды находятся вокруг Полярной звезды, которая расположена на воображаемой линии – продолжении земной оси в северном направлении. Движение звёзд не является доказательством того, что Земля вращается вокруг своей оси, ведь это движение могло бы быть следствием вращения небесной сферы, если считать, что планета занимает фиксированное, неподвижное положение в пространстве.

Маятник Фуко

Неопровержимое доказательство того, что Земля вращается вокруг собственной оси, было представлено в 1851 г. Фуко, который провёл известнейший эксперимент с маятником.

Представим, что, находясь на Северном полюсе, мы привели в колебательное движение маятник. Силой извне, действующей на маятник, является гравитация, при этом она не влияет на изменение направления колебаний. Если подготовить виртуальный маятник, оставляющий следы на поверхности, мы сможем удостоверится, что через некоторое время следы переместятся в направлении часовой стрелки.

Это вращение может быть связано с двумя факторами: или с вращением плоскости, на которой совершает колебательные движения маятник, или с вращением всей поверхности.

Первую гипотезу можно отбросить, принимая во внимание, что на маятнике нет сил, способных изменить плоскость колебательных движений. Отсюда следует, что вращается именно Земля, причём она совершает движения вокруг собственной оси. Этот эксперимент был проведён в Париже Фуко, он использовал огромный маятник в виде сферы из бронзы весом около 30 кг, подвешенный к 67-метровому тросу. На поверхности пола Пантеона была зафиксирована отправная точка колебательных движений.

Итак, вращается именно Земля, а не небесная сфера. Люди, ведущие с нашей планеты наблюдение за небом, фиксируют движение и Солнца, и планет, т.е. во Вселенной движутся все объекты.

Критерий времени – сутки

Сутки – это отрезок времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг собственной оси. Существует два определения понятия “сутки”. “Солнечный сутки” – это промежуток времени вращения Земли, при котором за отправную точку берётся . Другое понятие – “сидерические сутки” – подразумевает другую отправную точку – любую звезду. Продолжительность двух видов суток неидентична. Долгота сидерических суток составляет 23 ч 56 мин 4 с, долгота же солнечных суток равна 24 часам.

Различная продолжительность связана с тем, что Земля, вращаясь вокруг собственной оси, совершает и орбитальное вращение вокруг Солнца.

В принципе, продолжительность солнечных суток (хотя и принимается за 24 часа) – величина непостоянная. Это связано с тем, что движение Земли по орбите происходит с переменной скоростью. Когда Земля находится ближе к Солнцу, скорость её движения по орбите выше, по мере удаления от светила скорость понижается. В связи с этим введено такое понятие, как “средние солнечные сутки”, именно их продолжительность 24 часа.

Обращение вокруг Солнца со скоростью 107 000 км/ч

Скорость обращения Земли вокруг Солнца – второе основное движение нашей планеты. Земля движется по эллиптической орбите, т.е. орбита имеет форму эллипса. Когда находится в непосредственной близости от Земли и попадает в её тень, случаются затмения. Среднее расстояние между Землёй и Солнцем составляет примерно 150 миллионов километров. В астрономии используется единица измерения расстояний внутри Солнечной системы; её называют “астрономическая единица” (а.е.).

Скорость с которой Земля движется по орбите, равна примерно 107 000 км/ч.
Угол, образованный земной осью и плоскостью эллипса, составляет примерно 66°33’, это величина постоянная.

Если наблюдать за Солнцем с Земли, создаётся впечатление, что именно оно движется по небосклону в течении года, проходя через звёзды и , составляющие Зодиак. На самом деле Солнце также проходит и через созвездие Змееносца, но оно не относится к Зодиакальному кругу.

Действием поворотной силы инерции объясняется размывание правого берега рек северного полушария (закон Бара) Тем же объясняется большее снашивание правого рельса двухпутных железных дорог этого полушария.

Почожич, что поезд движется по меридиану в северном полушарии (рис. 123, а) Тогда скорость движения вдоль меридиана v можно разложить на две составляющие одна (г^) - параллельна земной оси, вторая (г>,) - пер­пендикулярна к ней Направление и величина компоненты скорости г>ц не будут изменяться вследствие вращения Земли, следовательно, эта компонента не свя­зана с силами инерции Со второй компонентой будет происходить то же самое,

что и со скоростью тела, двигающегося по радиусу вращающегося диска. Следо­вательно, на поезд будет действовать сила инерции

FK = 2тш1 = 2mm sin ф, (49 1)

где tn - масса поезда, а (р - широта Легко убедиться по чертежу (рис. 123, б), где пунктиром изображено направление компоненты через момент dt, что сила инерции всегда будет направлена в правую сторону по ходу поезда Поэтому со­вершенно очевидно, что преждевременный износ правого х) рельса можно заме­тить только на двухпутных железных дорогах, где движение по данной колее

Отметим, что поворотная сила инерции существует и тогда, когда поезд дви­жется и не по меридиану. В самом деле, и при движении по пара тели (рис. 124) будет иметь месго поворотное ускорение 2сои, направленное к оси вращения, если поезд движется на восток, и от оси вращения - при движении па запад. Следова­тельно, существует сила инерции

FK = 2mcoy, (49 2)

направленная от оси Земли (или к ее оси); проекция этой силы на горизонтальную плоскость равна

FK sin ф = 2mva sin ф, (49.3)

т. е. той же величине, что и при движении по меридиану, и направлена она также вправо по отношению к движению поезда.

То же следует сказать и о размытии берегов рек: размытие правого берега в северном полушарии (левого - в южном) имеет место независимо от направления течения реки

Читателю предлагается самостоятельно разобрать следующий вопрос: возникает ли поворотная сила инерции при движении поездов по местности вблизи экватора н сказывается ли там она на изнашивании рельса" (О т в е г. имеет место, но она не вызывает неравномерного изнашивания рельсов.)

На дорогах южного полушария - левого.

Если движение свободно падающего тела отнесено к системе отсчета, связан­ной с Землей, то во время падения тела на него действуют три силы, сила тяготе­ния и две силы инерции центробежная и поворотная Величина сил инерции при падении с небольшой высоты (по сравнению с радиусом Земли) будет невелика. Центробежное ускорение равно

(2~t)2 6400 Юз со2/? cos 242 363 10* C0S Ф М/,°2 "" cos Ф м/с2"

где и - угловая скорость вращения Земли, R - радиус Земли, ф - широта На экваторе центробежное ускорение составляет около 0,3% от ускоре­ния силы тяготения, поэтому при приближенном расчете влиянием измененияг)

Вид с полюса

центробежной силы с высотой падения можно пренебречь Гораздо более заметно влияние поворотной силы, которое вызовет отклонение падающего тела к востоку. Отклонение падающего тела к востоку можно просто представить себе" ведь тело в верхней точке из за вращения Земли имеет большую скорость (относительно невращающейся системы координат, связанной с центром Земли), чем то место, на которое оно падаег Отктонсние к востоку можно приближенно очень просто вычистить, полагая, что скорость падения тела <о в первом приближении направ­лена вниз и величина ее равна gt, как при падении на невращающейся Земле (t -» время падения)

Кориочнсова сила инерции равна -2т [<ог>], или приближенно величина ее соаавтяет 2тщ1 cos ф. Следовательно, ускорение к востоку падающего тела приближенно равно

a = 2tog^ cos ф. (49 5)

Проинтегрировав ускорение два раза, получим, что величина смещения падающего тела к востоку приближенно равна 3)

5=4" ЩР cos ф.

J) Заметим, что нам важно знать изменение центробежной силы по высоте, а не самую величину этой силы

t t t

2) s = | JK dt, где wK = ij a dt = 2a>g cos

При этом расчете мы полагали, что сила Кориолиса все время направлена к востоку, и пренебрегли изменением направления скорости v, а следовательно, и изменением направления поворотной силы Подставив числа, мы найдем, что при падении за 4 с на широте 45° (примерно с высоты 80 м) тело сместится к востоку примерно на 3 см Тщательные опыты, в, которых проверялись сме­щения к востоку, подтверждают результаты расчетов

Эти факты дают механическое доказательство вращения Земли. Они показывают, что система отсчета, связанная с Землей, - не- инерциальная система отсчета; только в тех случаях, когда силы, действующие на тело, значительно больше поворотной и центро­бежной сил инерции, можно приближенно считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной.

Отметим, что центробежная сила инерции имеет определенное направление и величину в данном месте независимо от движения тела, поэтому она проявляется и фактически учитывается вместе с силой тяготения, действующей на тело. Наличие центробежной силы инерции вследствие вращения Земли ведет к тому, что сила тяготения тела и сила веса тела вообще различны они отличаются на величину центробежной силы инерции в данном месте (рис. 125,а).

Здесь шла речь только о суточном вращении Земли вокруг оси. Легко убедиться, что влияние сил инерции, возникающих вслед­ствие вращения Земли вокруг Солнца, будет несравненно меньше. Очевидно, что поворотная сила инерции будет примерно в 360 раз меньше, чем поворотная сила инерции вследствие суточного враще­ния Земли. Центробежная сила инерции вследствие вращения вокруг Солнца будет порядка 0,2 от центробежной силы вследствие суточ­ного вращения на экваторе.

При движении тел вблизи поверхности Земли силы инерции, связанные с вращением Земли вокруг Солнца, и силы притяже­

ния тел к Солнцу практически компенсируют друг друга и в боль­шинстве случаев могут вообще не учитываться. Чтобы показать это, запишем полное уравнение движения материальной точки массы т в околоземном пространстве. Примем за начало неинер­циальной системы отсчета центр массы Земли (рис. 125, б):

тМг> тМг „ „ _

mr^-y-^r-y-^R-mao + Ft + FM. (49.6)

Здесь в порядке следования записаны: сила притяжения материаль­ной точки т Землей; сила притяжения ее Солнцем; сила инерции, возникающая вследствие движения Земли вокруг Солнца по эллип­тической орбите; кориолисова сила инерции и центробежная сила инерции.

Ускорение а0= - y-w-Ro сообщается центру массы Земли

силой притяжения ее к Солнцу. Расстояние от Земли до Солнца R0 да 1,5-108 км.

Численное сравнение слагаемых, представляющих в уравнении (49.6) силу инерции, связанную с неравномерностью орбитального движения системы отсчета, и силу притяжения материальной точки Солнцем, показывает, что они с высокой точностью компенсируют друг друга. Поэтому их общий вклад в уравнение (49.6) можно считать равным нулю.

Действительно, = Ю~4, и R - R0-\-rp&R0. Отсюда

следует, что

Называя, как указано выше (см. рис. 125, а), сумму сил притяже­ния тела Землей и центробежной силы весом тела Р над данной точкой земной поверхности, уравнение (49.6) можно записать в сле­дующем виде:

mf=P+FK==mgr9-2m[(o©OTH], (49.7)

где gb - P/m. Уравнение (49.7) описывает движение тел в около­земном пространстве относительно системы отсчета, связанной с Землей.

Таким образом, только приближенно можно считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной Ошибка, которая де­лается в этом случае, определяется отношением величин сил инер­ции к величине всех остальных сил, действующих на тело.

Французский ученый Фуко, наблюдая колебания маятника, доказал вра­щение Земчи (1852 г) Если представим, чго маятник подвешен на полкхе, то следует ожидать такую картину при колебаниях маятника плоскость его коле­

баний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли Это вращение плоскости колебаний видно, если наблюдать след котеба- ний маятника, подвешенного над вращающимся диском (рис. 126) Если мы заставим маятник котебаться в какой то пло­скости и затем приведем диск во вращение, то песок, высыпающийся из воронки маятника, которая подвешена вместо груза, покажет нам след движения маятника над диском

В неподвижной системе отсчета нет сил, которые заставили бы маятник изменить нло скость качания, и он будет сохранять ее неиз менной в пространстве, а диск (или Земля) по­ворачиваются под ним Очевидно, что плоскость колебаний маятника на полюсе будет вращаться с угловой скоростью вращения Земли (15° в час) Если же отнести колебания маятника на полюсе к системе координат, связанной с Землей, то вращение плоскости колебаний можно предста­вить себе как результат действия кориолисовой силы. Действительно, она перпендикулярна к скорости вращения и лежит все время в гори­зонтальной плоскости. Эта сила пропорциональ­на скорости движения i рузика маятника и угловой скорости вращения Земли и направлена так, что действие ее завора­чивает траекторию в нужную сторону

След движения маятника на Земле будет различен в зависимости от того, каким образом мы заставим маятник колебаться Проследим след траектории маятника над вращающимся диском (см рис 126) при двух способах запуска маятника Если отклоним грузик маятника в сторону и одновременно приве­дем диск во вращение так, что в момент пуска маятника вороночка получит такую же скорость, как и та точка диска, над которой она находится, след траек­тории будет представлять «звездочку» (рис 127, а) Таким же будет вид траекто­рии на земном полюсе, если маятник запускать из отклоненного положения

В другой раз мы заставим маятник колебаться при неподвижном диске, а зат^ I npii^jM диск во вращение В этом с 1учае траектория представ гяет собой «розетк\"> (рис 127, б) На Земле такая форма траектории будет в том случае, если маятник будет совершать колебания после резкого удара по

покоящемуся грузику. В обоих случаях траектории изгибаются в одну и ту же сторону под действием кориолисЬвой силы.

Таким образом, при колебаниях маятника на полюсе след траектории маят-" ника будет изгибаться и, следовательно, плоскость колебания будет постепенно поворачиваться под действием кориолисовой силы

которая лежит все время в горизонтальной плоскости и направлена всегда вправо по ходу грузика.

Опыт Фуко можно наблюдать и в аудитории, только следует сделать устрой­ство, которое отсчитывает поворот траектории за то время, пока колебания маятника не затухнут. Для опыта делают длину маятника как можно больше,

чтобы увеличить период его колеба­ний; тогда процесс колебаний займет большее время и Земля за это время переместится на больший угол.

Чтобы отметить угол поворота траектории при пуске, заставляют маятник колебаться в плоскости луча света, идущего от точечного источника на экран, так, что вначале на экране видна только четкая неподвижная ли­ния тени от нити подвески при коле­баниях. По прошествии некоторого времени (5-10 мин) плоскость колеба­ний повернется, и на экране будут вид­ны смещения тени от нити.

Для определения угла поворота плоскости колебаний маятника источ­ник света сдвигают в сторону до тех пор, пока опять не будет видна четкая неподвижная тень от нити. Измеряя смещение тени нити и расстояние от нити до экрана, находят угол, на который повернулась плоскость колебаний за данное время. Опыт показывает, что угловая скорость поворота плоскости колебаний маятника равна

со sin ф= 15 sin <р град/ч,

где ф - широта места (рис. 128). Вращение вокруг вертикали на широте ф будет происходить не с угловой скоростью со, а с угловой скоростью, равной проекции to вектора на вертикаль, т.е угловая скорость вращения будет равна со sin ф.

Уменьшение угловой скорости вращения плоскости колебаний можно объяс­нить также и тем, что проекция силы Кориолиса на горизонтальную плоскость в данном месте будет отличаться на коэффициент sin ф от ее величины на полюсе. Действительно, поворот плоскости качания вызовет только эта проекция. Сила Кориолиса, действующая на грузик маятника в данном месте, лежит в плоскости, перпендикулярной к <а и v, и пропорциональна синусу угла между ними. Только в том случае, когда вектор v лежит в плоскости меридиана, кориолисова сила направлена горизонтально; при всех других направлениях эта сила не лежит в горизонтальной плоскости.

Байрашев К.А.

Получено точное решение задачи о влиянии вращения Земли на движение материальной точки в Северном полушарии без учета сопротивления воздуха при ненулевых начальных условиях. Рассмотрено несколько конкретных вариантов задания начальной скорости точки. Показано, что при начальной скорости, направленной на восток, отклонение точки на юг пропорционально первой степени угловой скорости вращения Земли. При начальной скорости, направленной на север или по отвесной линии вниз, отклонение точки на восток больше чем при падении без начальной скорости. Решение, полученное в работе, можно применить для оценки влияния вращения планет Солнечной системы на движение материальной точки вблизи их поверхностей.

1. Рассматривается задача о влиянии вращения Земли на падение тяжелой материальной точки в Северном полушарии, известная еще как задача об отклонении падающих тел на восток . Движение точки определяется относительно неинерциальной системы отсчета Оxyz , скрепленной с вращающейся Землей. Начало координат в общем случае располагается на некоторой высоте над сферической поверхностью Земли.

Ось Oz направлена по отвесу вниз, ось Оx - в плоскости меридиана к северу, ось Оy -по параллели к востоку (рис. 1).

При движении материальной точки вблизи поверхности Земли на нее действуют сила тяготения, переносная и кориолисова силы инерции. Сопротивление воздуха не учитывается. Заменяя сумму силы тяготения и переносной силы инерции силой тяжести , а кориолисову силу инерции формулой

Имеем следующее уравнение относительного движения материальной точки в векторной форме

(1)

Здесь m, и - соответственно масса, скорость и ускорение точки M, - вектор угловой скорости Земли, - ускорение силы тяжести.

Отметим, что скорость свободно падающей точки M , начинающей движении из состояния относительного покоя, почти параллельна отвесной линии. Поэтому корио-лисова сила инерции практически перпендикулярна плоскости меридиана и направлена на восток.

Проецируя (1) на координатные оси и следуя , получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

(2)

где точки над x, y, z означают их производные по времени, φ - географическая широта места, т.е. угол отвесной линии с плоскостью экватора. Начальные условия следующие:

т.е. в начальный момент времени точка находится в относительном покое. В курсах теоретической механики обычно приводится приближенное решение задачи о влиянии вращения Земли на падение материальной точки без начальной скорости . В книге академика Н.А. Кильчевского дано точное решение системы уравнений, с точностью до знаков совпадающей с (2), при нулевых начальных условиях (3). В данной работе получено точное решение системы (2) при ненулевых начальных условиях (см. п. 4.). Предварительно решается задача (2) - (3) (см. п. 2.).

2. Интегрируя каждое из уравнений системы (2), находим

С учетом (3) получаем значения постоянных интегрирования: c 1 = c 2 = c 3 = 0.

Выражая из (4) через y и подставляя во второе уравнение системы (2), имеем

(5)

Дифференциальное уравнение (5) является линейным неоднородным. Следовательно, его решение

y = + Y,

где - общее решение однородного уравнения, Y - частное решение неоднородного уравнения . Корни характеристического уравнения

чисто мнимые Поэтому общее решение однородного уравнения

зависящее от двух постоянных интегрирования , можно записать в виде

Частное решение

где А и В неопределенные коэффициенты. Подставляя правую часть (6) в (5)

с учетом получим

Сокращая на 2ω и приравнивая друг к другу коэффициенты при первых степенях t и свободные члены, находим

Таким образом, а общее решение есть

Удовлетворяя начальному условию y 0 = 0, получаем c 1 * = 0. Условие дает

Следовательно,

(7)

Следует заметить, что в выражение для y содержит опечатку - во втором слагаемом коэффициент в знаменателе при ω 2 равен единице.

Подставляя правую часть (7) вместо у в первое и третье уравнения системы (4), интегрируя и удовлетворяя начальным условиям x 0 = z 0 = 0, получим

Ввиду того, что ориентация осей x и z противоположна принятой в , формулы (8)-(9) отличаются знаками от соответствующих формул, выведенных Н.А. Кильчевским.

Вычитая из (9) выражение (8) при будем иметь

Дифференцируя по времени получим

Опираясь на (8) легко доказать, что для движущейся точки Поэтому справедливо неравенство

(11)

Следовательно, при учете кориолисовой силы инерции вертикальная скорость падения точки меньше, чем без ее учета. Иначе говоря, неучет вращения Земли завышает вертикальную скорость падения точки по сравнению с действительной скоростью в пустоте. Этот вывод, представляющий только теоретический интерес, справедлив для всех φ из интервала Например, разница в расстояниях, пройденных точкой за 10с падения без учета и с учетом вращения Земли на широте φ=450 не превышает 5 . 10 -5 м , т.е. величина пренебрежимо малая.

3. Запишем решение задачи (2)-(3) в виде сходящихся рядов. Воспользуемся разложения

Подставляя правые части этих формул в (7)-(9), после преобразований получим

Полагая в (12) ω=0, имеем х=у=0, Этот же результат можно получить из (7)-(9) при ω→0.

,

Решение задачи (2), (13) можно получить способом, подробно изложенным в п. 2. В случае ненулевых начальных условий выкладки более громоздки, поэтому здесь они опускаются. Решение имеет вид

Подстановка в (2) соответствующих производных, полученных из (14) показывает, что каждое из уравнений системы обращается в тождество. Точно выполняются также начальные условия (13). Предполагается, что существует единственное решение задачи Коши для системы (2). Строго говоря, решение (14) должно хорошо согласовываться с опытными данными лишь в такой окрестности начальной точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , где значения географической широты и ускорения силы тяжести мало отличаются от таковых в этой начальной точке. Чтобы расширить область решения, можно организовать зависящую от времени итерационную пошаговую процедуру, внося в (14) на очередном временнóм шаге поправки, учитывающие изменения φ , g и принимая за начальные условия соответствующие величины, рассчитанные на предыдущем шаге.

Нетрудно видеть, что при из (14) следуют равенства (7) - (9). Устремляя ω к нулю (ω →0), из (14) можно получить решение задачи при ненулевых начальных условиях без учета вращения Земли:

В этом случае траекторией точки является плоская кривая - парабола, поэтому обычно достаточно двух уравнений.

5. Рассмотрим еще шесть вариантов задания начальных условий, во всех из них для простоты полагаем x 0 = y 0 = z 0 = 0.

Вариант I. Пусть , т.е. начальная скорость направлена на восток. Тогда кориолисова сила инерции, действующая на точку в начальный момент времени, лежит в плоскости параллели и направлена от оси вращения Земли. Из (14), следуя подходу п. 3., оставляя явно только несколько первых членов рядов, получим

Точка отклоняется на восток и на юг (юго - восток).Формула (15) показывает, что отклонение траектории точки на юг пропорционально первой степени угловой скорости ω . Например, при t = 10c оно равно примерно 5 см. В отсутствии начальной скорости отклонение траектории точки на юг вследствие вращения Земли пропорционально квадрату угловой скорости. Этот известный результат следует из формулы для х системы (12).

Вариант II. Пусть , т.е. начальная скорость точки направлена на север, следовательно, кориолисова сила инерции, действующая на материальную точку при t=0, направлена на восток. Проведя такие же выкладки, как и в предыдущем случае будем иметь

Точка отклоняется на север и на восток (северо - восток). Из формулы (19) видно, что имеются два положительных слагаемых, пропорциональных первой степени угловой скорости ω, причем второе слагаемое появляется из - за начальной скорости, направленной на север. Следовательно, отклонение на восток больше, чем при падении точки в пустоте без начальной скорости. Такой вывод делается с учетом того, что угловая скорости вращения Земли малая по сравнению с единицей величина Поэтому членами, содержащими ω в степени выше второй при небольших t и υ 0 можно пренебречь.

Вариант III. Пусть , т.е. начальная скорость направлена по отвесу вниз. Кориолисова сила инерции за все время падения точки направлена на восток. Решение, полученное аналогично предыдущим двум вариантам, имеет вид

Из (21) видно, что отклонение точки на юг пренебрежимо малó. Формула (22) показывает, что как и в предыдущем варианте, отклонение точки на восток больше, чем при падении без начальной скорости.

Вариант IV. Пусть т.е. начальная скорость направлена на запад. Кориолисова сила инерции при t = 0 лежит в плоскости параллели и направлена к оси вращения Земли. Решение дается формулами (15 - 17) с учетом отрицательности знака . Если сумма первых двух слагаемых в (16) отрицательна, точка отклоняется в рассматриваемый момент времени на запад и на север (северо - запад), если положительна, то - на север и на восток (северо - восток). Чтобы последний случай имел место, необходимо свободное падение точки в течение сравнительно большого отрезка времени. Например, при g = 9,81 м/с точка должна падать более 77 с , т.е. с высоты более 29,1 км. Точка начинает падение в западном направлении, под действием кориолисовой силы инерции поворачивается вправо, пересекает плоскость меридиана и меняет направление на северо -восточное.

где знаки плюс и минус выбираются так же, как в (24) и (25).

Вариант V. Пусть т.е. начальная скорость направлена на юг. Кориолисова сила инерции при t=0 напралена на запад. Решение дается формулами (18) - (20) с учетом знака .

Вариант VI. Точка брошена вертикально вверх: . Кориолисова сила инерции при подъеме точки почти перпендикулярна плоскости меридиана и направлена на запад. В качестве решения можно использовать формулы (21) - (23), только нужно учитывать, что должны выполняться условия .

В этой работе предполагалось, как обычно принято, что точка расположена в Северном полушарии. Можно аналогично решить задачу о движении материальной точки в пустоте вблизи поверхности Земли в Южном полушарии.

Наконец, заметим, что формулы (14) -(23) можно применить для оценки влияния вращения планет Солнечной системы на движение материальной точки вблизи их поверхностей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т. I (кинематика, статика, динамика точки). - 2-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1977.
2. Задачи и упражнения по математическому анализу. Под редакцией Демидовича Б.П. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 480 с.

Библиографическая ссылка