Квантовые системы и их свойства.

Распределение вероятностей по энергиям в пространстве.

Статистика бозонов. Распределение Ферми-Эйнштейна.

Статистика фермионов. Распределение Ферми-Дирака.

Квантовые системы и их свойства

В классической статистике предполагается, что частицы составляющие систему подчиняются законам классической механики. Но для многих явлений при описании микрообъектов необходимо использовать квантовую механику. Если система состоит из частиц, подчиняющихся квантовой механике, то будем её называть квантовой системой.

К принципиальным отличиям классической системы от квантовой относятся:

1) Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц.

2) Дискретность физических величин, описывающих микрообъекты.

3) Спиновые свойства микрочастиц.

Из первого следует невозможность точного определения всех параметров системы, определяющих её состояние с классической точки зрения. Этот факт нашел отражение в соотношении неопределенностей Гейзендберга:

Для того чтобы математически описать эти особенности микрообъектов в квантовой физике, величине ставится в соответствие линейный эрмитов оператор, который действует на волновую функцию .

Собственные значения оператора определяют возможные численные значения этой физической величины, среднее по которым совпадает со значением самой величины.

Так как импульсы и коэффициенты микрочастиц системы не могут быть измерены одновременно, волновую функцию представляют либо как функцию координат:

Либо, как функцию импульсов:

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы в единице объёма:

Волновая функция, описывающая конкретную систему, находится как собственная функция оператора Гамельтона:

Стационарное уравнение Шредингера.

Нестационарное уравнение Шредингера.

В микромире действует принцип неразличимости микрочастиц.

Если волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, то функция так же удовлетворяет этому уравнению. Состояние системы не изменится при перестановки 2 частиц.

Пусть первая частица находится в состоянии а, а вторая в состоянии в.

Состояние системы описывается:

Если частицы поменять местами, то: так как перемещение частицы не должно сказаться на поведении системы.

Это уравнение имеет 2 решения:

Оказалось, что первая функция реализуется для частиц с целым спином, а вторая с полуцелым.

В первом случае 2 частицы могут находиться в одном состоянии:

Во втором случае:

Частицы первого типа называются бозонами спин целый), частицы второго типа- фемионами (для них справедлив принцип Паули.)

Фермионы: электроны, протоны, нейтроны…

Бозоны: фотоны, дейтроны…

Фермионы и бозоны подчиняются неклассической статистике. Чтобы увидеть отличия, подсчитаем число возможных состояний системы, состоящий из двух частиц с одной энергией по двум ячейкам в фазовом пространстве.

1) Классические частицы различны. Возможно проследить за каждой частицей в отдельности.

Классические частицы.

Модель атома Бора была попыткой примирить представления классической физики с формирующимися законами квантового мира.

Э.Резерфорд, 1936 г.: «Как расположены электроны во внешней части атома? Я считаю первоначальную квантовую теорию спектра, выдвинутую Бором, одной из наиболее революционных из всех когда-либо созданных в науке; и я не знаю другой теории, которая имела бы больший успех. Он был в то время в Манчестере и, твердо уверовав в ядерную структуру атома, которая выяснилась в экспериментах по рассеянию, старался понять, как надо расположить электроны, чтобы получить известные спектры атомов. Основа его успеха лежит во внесении в теорию совершенно новых идей. Он внес в наши представления идею кванта действия, а также идею, чуждую классической физике, о том, что электрон может вращаться по орбите вокруг ядра, не испуская излучения. Выдвигая теорию ядерного строения атома, я вполне отдавал себе отчет в том, что согласно классической теории электроны должны падать на ядро, а Бор постулировал, что по некоторым неизвестным причинам этого не происходит, и на основе этого предположения он, как вы знаете, сумел объяснить происхождение спектров. Применяя вполне разумные допущения, он шаг за шагом решил вопрос о расположении электронов во всех атомах периодической таблицы. Здесь было много трудностей, так как распределение должно было соответствовать оптическим и рентгеновским спектрам элементов, но в конце концов Бор сумел предложить такое расположение электронов, которое показало смысл периодического закона.
В результате дальнейших усовершенствований, главным образом внесенных самим Бором, и видоизменений, произведенных Гейзенбергом, Шредингером и Дираком, изменилась вся математическая теория и были введены идеи волновой механики. Совершенно независимо от этих дальнейших усовершенствований я рассматриваю труды Бора как величайший триумф человеческой мысли.
Чтобы осознать значение его работ, следует рассмотреть хотя бы только необычайную сложность спектров элементов и представить себе, что в течение 10 лет все основные характеристики этих спектров были поняты и объяснены, так что теперь теория оптических спектров настолько завершена, что многие считают это исчерпанным вопросом, подобно тому, как это было несколько лет назад со звуком».

К середине 20-х годов стало очевидно, что полуклассическая теория атома Н.Бора не может дать адекватное описание свойств атома. В 1925–1926 гг. в работах В.Гейзенберга и Э.Шредингера был разработан общий подход описания квантовых явлений – квантовая теория.

(x,y,z,p x ,p y ,p z)

=∂H/∂p, = -∂H/∂t,

x, y, z, p x , p y , p z

ΔхΔp x ~
ΔyΔp y ~
ΔzΔp z ~

Детерминизм

|(x,y,z)| 2

Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p x ,p y ,p z ,t). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(х,у,z,t). Т.к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно только определить вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции W ~ |ψ(x,y,z)| 2 .
Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где – оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).
В нерелятивистском случае − 2 /2m + (r), где т – масса частицы, – оператор импульса, (x,y,z) – оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. В стационарном состоянии волновая функция ψ(х,у,z) является решением стационарного уравнения Шредингера ψ = Eψ. Как и всякая связанная система в квантовой физике, ядро обладает дискретным спектром собственных значений энергии.
Состояние с наибольшей энергией связи ядра, т. е. с наименьшей полной энергией Е, называют основным. Состояния с бòльшей полной энергией – возбуждённые. Нижнему по энергии состоянию приписывается нулевой индекс и энергия E 0 = 0.

E 0 → Mc 2 = (Zm p + Nm n)c 2 − W 0 ;

W 0 – энергия связи ядра в основном состоянии.
Энергии E i (i = 1, 2, ...) возбуждённых состояний отсчитываются от основного состояния.

Схема нижних уровней ядра 24 Mg.

Нижние уровни ядра дискретны. При увеличении энергии возбуждения среднее расстояние между уровнями уменьшается.
Рост плотности уровней с увеличением энергии является характерным свойством многочастичных систем. Он объясняется тем, что с увеличением энергии таких систем быстро растет число различных способов распределения энергии между нуклонами.
Квантовые числа – целые или дробные числа, определяющие возможные значения физических величин, характеризующих квантовую систему – атом, атомное ядро. Квантовые числа отражают дискретность (квантованность) физических величин, характеризующих микросистему. Набор квантовых чисел, исчерпывающе описывающих микросистему, называют полным. Так состояние нуклона в ядре определяется четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом n (может принимать значения 1, 2, 3, …), определяющим энергию Е n нуклона; орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, …, n, определяющим величину L орбитального момента количества движения нуклона (L = ћ 1/2); квантовым числом m ≤ ±l, определяющим направление вектора орбитального момента; и квантовым числом m s = ±1/2, определяющим направление вектора спина нуклона.

Квантовые числа

Наряду с таким набором квантовых чисел, состояние нуклона в ядре можно также характеризовать другим набором квантовых чисел n, l , j, j z . Выбор набора квантовых чисел определяется удобством описания квантовой системы.
Существование сохраняющихся (неизменных во времени) физических величин для данной системы тесно связано со свойствами симметрии этой системы. Так, если изолированная система не изменяется при произвольных поворотах, то у неё сохраняется орбитальный момент количества движения. Это имеет место для атома водорода, в котором электрон движется в сферически симметричном кулоновском потенциале ядра и поэтому характеризуется неизменным квантовым числом l . Внешнее возмущение может нарушать симметрию системы, что приводит к изменению самих квантовых чисел. Фотон, поглощенный атомом водорода, может перевести электрон в другое состояние с другими значениями квантовых чисел. В таблице приведены некоторые квантовые числа, используемые для описа­ния атомных и ядерных состояний.
Помимо квантовых чисел, отражающих пространственно-временную симметрию микросистемы, существенную роль играют так называемые внутренние квантовые числа частиц. Ряд из них, такие как спин и электрический заряд, сохраняются во всех взаимодействиях, другие в некоторых взаимодействиях не сохраняются. Так квантовое число странность, сохраняющееся в сильном и электромагнитном взаимодействиях, не сохраняется в слабом взаимодействии, что отражает разную природу этих взаимодействий.
Атомное ядро в каждом состоянии характеризуется полным моментом количества движения . Этот момент в системе покоя ядра называется спином ядра .
Для ядра выполняются следующие правила:
а) A - чётно J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), т. е. целое;
б) A – нечётно J = n + 1/2, т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено ещё одно правило: у чётно-чётных ядер в основном состоянии J gs = 0. Это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов в основном состоянии ядра – особое свойство межнуклонного взаимодействия.
Инвариантность системы (гамильтониана ) относительно пространственного отражения – инверсии (замены → -) приводит к закону сохранения чётности и квантовому числу чётности Р. Это означает, что ядерный гамильтониан обладает соответствующей симметрией. Действительно, ядро существует благодаря сильному взаимодействию между нуклонами. Кроме того, существенную роль в ядрах играет и электромагнитное взаимодействие. Оба этих типа взаимодействий инвариантны к пространственной инверсии. Это означает что ядерные состояния должны характеризоваться определенным значением четности Р, т. е. быть либо четными (Р = +1), либо нечетными (Р = -1).
Однако, между нуклонами в ядре действуют и не сохраняющие чётность слабые силы. Следствием этого является то, что к состоянию с данной четностью добавляется (обычно незначительная) примесь состояния с противоположной четностью. Типичная величина такой примеси в ядерных состояниях всего 10 -6 -10 -7 и в подавляющем числе случаев может не учитываться.
Четность ядра Р как системы нуклонов может быть представлена как произведение четностей отдельных нуклонов p i:

Р = p 1 ·p 2 ·...·p A ·,

причем четность нуклона p i в центральном поле зависит от орбитального момента нуклона , где π i - внутренняя четность нуклона, равная +1. Поэтому четность ядра в сферически симметричном состоянии может быть представлена как произведение орбитальных четностей нуклонов в этом состоянии:

На схемах ядерных уровней обычно указывают энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин указывается числом, а чётность знаком плюс для чётных и минус для нечётных уровней. Этот знак ставится справа сверху от числа, указывающего спин. Например, символ 1/2 + обозначает чётный уровень со спином 1/2, а символ 3 - обозначает нечётный уровень со спином 3.

Изоспин атомных ядер. Ещё одна характеристика ядерных состояний – изоспин I . Ядро (A, Z) состоит из A нуклонов и имеет заряд Ze, который можно представить в виде суммы зарядов нуклонов q i , выраженных через проекции их изоспинов (I i) 3

− проекция изоспина ядра на ось 3 изоспинового пространства.
Полный изоспин системы нуклонов A

Все состояния ядра имеют значение проекции изоспина I 3 = (Z - N)/2. В ядре, состоящем из A нуклонов, каждый из которых имеет изоспин 1/2, возможны значения изоспина от |N - Z|/2 до A/2

|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.

Минимальное значение I = |I 3 |. Максимальное значение I равно A/2 и отвечает всем i , направленным в одну сторону. Опытным путём установлено, что энергия возбуждения ядерного состояния тем выше, чем больше значение изоспина. Поэтому изоспин ядра в основном и низковозбужденных состояниях имеет минимальное значение

I gs = |I 3 | = |Z - N|/2.

Электромагнитное взаимодействие нарушает изотропию изоспинового пространства. Энергия взаимодействия системы заряженных частиц изменяется при поворотах в изопространстве, так как при поворотах изменяются заряды частиц и в ядре часть протонов переходит в нейтроны или наоборот. Поэтому реально изоспиновая симметрия не точная, а приближенная.

Потенциальная яма. Для описания связанных состояний частиц часто используется понятие потенциальной ямы. Потенциальная яма - ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой.

Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т ≥ 0 и потенциальной U (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т 1 меньше глубины ямы U 0 , энергия частицы Е 1 = Т 1 + U 1 = Т 1 - U 0 В квантовой механике энергия частицы, находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом наинизший (основной) уровень всегда лежит выше дна потенциальной ямы. По порядку величины расстояние ΔЕ между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной а даётся выражением
ΔЕ ≈ ћ 2 / mа 2 .
Пример потенциальной ямы – потенциальная яма атомного ядра глубиной 40-50 МэВ и шириной 10 -13 –10 -12 см, в которой на различных уровнях находятся нуклоны со средней кинетической энергией ≈ 20 МэВ.

При таких граничных условиях частица, находясь внутри потенциальной ямы 0 < x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.

ψ(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ L.

Используя стационарное уравнение Шредингера для области, где U = 0,

получим положение и спектр энергий частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

Волновая функция частицы в бесконечной прямоугольной яме (а), квадрат модуля волновой функции (б) определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.
Самой поразительной особенностью квантовой физики оказался ее вероятностный характер.

Вероятностный характер процессов, протекающих в микромире, является фундаментальным свойством микромира.

Э.Шредингер: «Обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел». Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено и, я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования.
Довольно естественно связывать функцию ψ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению. Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный сравнительно наглядный путь, но потом предпочел чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса. Существенным мне кажется, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное «требование целочисленности », а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции.
Я не считаю возможным, до тех пор, пока не будут успешно рассчитаны новым способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной квантовой теории. Например, при рассмотрении по приведенному способу релятивистской задачи Кеплера, если действовать по указанным вначале правилам, получается замечательный результат: полуцелые квантовые числа (радиальное и азимутальное)…
Прежде всего, нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении «фазовых волн», которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания».

М.Лауэ: «Достижения квантовой теории накоплялись очень быстро. Особенно поражающий успех она имела в применении к радиоактивному распаду при испускании α-лучей. Согласно этой теории существует «туннельный эффект», т.е. проникновение через потенциальный барьер частицы, знергия которой согласно требованиям классической механики, недостаточна для перехода через него.
Г.Гамов дал в 1928 г. объяснение испускания α-частиц, основанное на этом туннельном эффекте. Согласно теории Гамова атомное ядро окружено потенциальным барьером, но α-частицы имеют определенную вероятность его «перешагнуть». Эмпирически найденные Гейгером и Неттолом соотношения между радиусом действия α-частицы и полупериодом распада получили на основе теории Гамова удовлетворительное объяснение».

Статистика. Принцип Паули. Свойства квантовомеханических систем, состоящих из многих частиц, определяются статистикой этих частиц. Классические системы, состоящие из одинаковых, но различимых частиц, подчиняются распределению Больцмана

В системе квантовых частиц одного типа проявляются новые особенности поведения, не имеющие аналогов в классической физике. В отличие от частиц в классической физике, квантовые частицы не просто одинаковы, но и неразличимы – тождественны. Одна из причин состоит в том, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновых функций, позволяющих вычислить лишь вероятность нахождения частицы в какой-либо точке пространства. Если волновые функции нескольких тождественных частиц перекрываются, то невозможно определить, какая из частиц находится в данной точке. Так как физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции, из принципа тождественности частиц следует, что при перестановке двух тождественных частиц волновая функция либо изменяет знак (антисимметричное состояние ), либо не изменяет знак (симметричное состояние ).
Симметричными волновыми функциями описываются частицы с целым спином – бозоны (пионы, фотоны, альфа-частицы. ...). Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

В одном квантовом состоянии может одновременно находиться неограниченное количество тождественных бозонов.
Антисимметричными волновыми функциями описываются частицы с полуцелым спином – фермионы (протоны, нейтроны, электроны, нейтрино). Фермионы починяются статистике Ферми-Дирака

На связь между симметрией волновой функции и спином впервые указал В. Паули.

Для фермионов справедлив принцип Паули – два тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии.

Принцип Паули определяет строение электронных оболочек атомов, заполнение нуклонных состояний в ядрах и другие особенности поведения квантовых систем.
С созданием протон-нейтронной модели атомного ядра можно считать завершенным первый этап развития ядерной физики, в котором были установлены основные факты строения атомного ядра. Первый этап начался в фундаментальной концепции Демокрита о существовании атомов – недели­мых частиц материи. Установление периодического закона Менделеевым позволило систематизировать атомы и поставило вопрос о причинах, лежащих в основе этой систематики. Открытие электронов в 1897 г. Дж. Дж. Томсоном разрушило представление о неделимости атомов. Согласно модели Томсона, электроны – составные элементы всех атомов. Открытие А. Беккерелем в 1896 г. явление радиоактивности урана и последующее открытие П.Кюри и М.Склодовской-Кюри радиоактивности тория, полония и радия впервые показали, что химические элементы не являются вечными образованиями, они могут самопроизвольно распадаться, превращаться в другие химические элементы. В 1899 г. Э. Резерфордом было установлено, что атомы в результате радиоактивного распада могут выбрасывать из своего состава α-частицы – ионизованные атомы гелия и электроны. В 1911 г. Э. Резерфорд, обобщив результаты эксперимента Гейгера и Марсдена, разработал планетарную модель атома. Согласно этой модели атомы состоят из положительно заряженного атомного ядра радиусом ~10 -12 см, в котором сосредоточена вся масса атома и вращающихся вокруг него отрицательных электронов. Размер электронных оболочек атома ~10 -8 см. В 1913 г. Н.Бор развил представление планетарной модели атома на основе квантовой теории. В 1919 г. Э. Резерфорд доказал, что в состав атомного ядра входят протоны. В 1932 г. Дж. Чадвик открыл нейтрон и показал, что в состав атомного ядра входят нейтроны. Созданием в 1932 г. Д. Иваненко, В. Гейзенбергом протон-нейтронной модели атомного ядра завершился первый этап развития ядерной физики. Все составные элементы атома и атомного ядра были установлены.

1869 г. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева

Ко второй половине XIX столетия усилиями химиков была накоплена обширная информация о поведении химических элементов в различных химических реакциях. Было установлено, что только определенные комбинации химических элементов образуют данное вещество. Было обнаружено, что некоторые химические элементы имеют примерно одинаковые свойства, в то время как их атомные веса сильно различаются. Д. И. Менделеев проанализировал связь между химическими свойствами элементами и их атомным весом и показал, что химические свойства элементов расположенных по мере возрастания атомных весов повторяются. Это послужило основой созданной им периодической системы элементов. При составлении таблицы Менделеев обнаружил, что атомные веса некоторых химических элементов выпадают из полученной им закономерности, и указал, что атомные веса этих элементов определены неточно. Более поздние точные опыты показали, что действительно первоначально опреде­лен­ные веса были неправильны и новые результаты соответствовали пред­ска­за­ниям Менделеева. Оставив в таблице незаполненными некоторые места, Менделеев указал, что здесь должны находиться новые ещё не открытые химические элементы и предсказал их химические свойства. Так были предсказаны и затем открыты галлий (Z = 31), скандий (Z = 21) и германий (Z = 32). Потомкам Менделеев оставил задачу объяснения периодических свойств химических элементов. Теоретическое объяснение периодической системы элементов Менделеева, данное Н. Бором в 1922 г. было одним из убедительных доказательств правильности зарождающейся квантовой теории.

Атомное ядро и периодическая система элементов

Основой успешного построения периодической системы элементов Менделеевым и Логар Мейером явилось представление о том, что атомный вес может служить подходящей константой для систематической классификации элементов. Современная атомная теория подошла, однако, к истолкованию периодической системы, совершенно не затрагивая атомного веса. Номер места какого-нибудь элемента в этой системе и вместе с тем его химические свойства однозначно определяются положительным зарядом атомного ядра, или, что то же самое, числом отрицательных электронов, расположенных вокруг него. Масса и строение атомного ядра не играют при этом никакой роли; так, в настоящее время мы знаем, что существуют элементы или, вернее, виды атомов, которые при одном и том же числе и расположении внешних электронов обладают значительно разнящимися атомными весами. Такие элементы называются изотопами. Так, например, в плеяде изотопов цинка атомный вес распределяется от 112 до 124. Наоборот, есть элементы, обладающие существенно различными химическими свойствами, которые обнаруживают одинаковый атомный вес; их называют изобарами. Примером может служить атомный вес 124, который найден для цинка, теллура и ксенона.
Для определения химического элемента достаточно одной константы, а именно – числа отрицательных электронов, расположенных вокруг ядра, так как все химические процессы протекают среди этих электронов.
Число протонов n 2 , находящихся в атомном ядре, определяют его положительный заряд Z, а тем самим и число внешних электронов, обусловливающих химические свойства этого элемента; некоторое число нейтронов n 1 заключенных в этом же ядре, в сумме с n 2 дает его атомный вес
A = n 1 + n 2 . Обратно, порядковый номер Z дает число содержащихся в атомном ядре протонов, а из разности между атомным весом и зарядом ядра A – Z получается число ядерных нейтронов.
С открытием нейтрона периодическая система получила некоторое пополнение в области малых порядковых номеров, так как нейтрон можно считать элементом с порядковым числом, равным нулю. В области высоких порядковых чисел, а именно от Z = 84 до Z = 92, все атомные ядра неустойчивы, спонтанно радиоактивны; поэтому можно предположить, что атом с зарядом ядра еще более высоким, чем у урана, если он только может быть получен, должен быть также неустойчивым. Ферми и его сотрудники недавно сообщили о своих опытах, в которых при обстреле урана нейтронами наблюдалось появление радиоактивного элемента с порядковым номером 93 или 94. Вполне возможно, что и в этой области периодическая система имеет продолжение. Остается прибавить только, что гениальным предвидением Менделеева рамки периодической системы так широко предусмотрены, что каждое новое открытие, оставаясь в объеме их, еще более укрепляет ее.

Атомное ядро, как и другие объекты микромира, является квантовой системой. Это означает, что теоретическое описание его характеристик требует привлечения квантовой теории. В квантовой теории описание состояний физических систем основывается на волновых функциях, или амплитудах вероятности ψ(α,t). Квадрат модуля этой функции определяет плотность вероятности обнаружения исследуемой системы в состоянии с характеристикой α – ρ (α,t) = |ψ(α,t)| 2 . Аргументом волновой функции могут быть, например, координаты частицы.
Полную вероятность принято нормировать на единицу:

Каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор , действующий в гильбертовом пространстве волновых функций ψ . Спектр значений, которые может принимать физическая величина, определяется спектром собственных значений ее оператора.
Среднее значение физической величины в состоянии ψ есть

() * = <ψ ||ψ > * = <ψ | + |ψ > = <ψ ||ψ > = .

Состояния ядра как квантовой системы, т.е. функции ψ(t), подчиняются уравнению Шредингера («у. Ш.»)

(2.4)

Оператор – эрмитов оператор Гамильтона (гамильтониан ) системы. Вместе с начальным условием на ψ(t) уравнение (2.4) определяет состояние системы в любой момент времени. Если не зависит от времени, то полная энергия системы является интегралом движения. Состояния, в которых полная энергия системы имеет определенное значение, называются стационарными. Стационарные состояния описываются собственными функциями оператора (гамильтониана):

Последнее из уравнений - стационарное уравнение Шредингера , определяющее, в частности, набор (спектр) энергий стационарной системы.
В стационарных состояниях квантовой системы помимо энергии, могут сохраняться и другие физические величины. Условие сохранения физической величины F является равенство 0 коммутатора ее оператора с оператором Гамильтона:

1. Спектры атомных ядер

Квантовый характер атомных ядер проявляется в картинах их спектров возбуждения (см. например, рис. 2.1). Спектр в области энергий возбуждения ядра 12 С ниже (примерно) 16 МэВ имеет дискретный характер. Выше этой энергии спектр непрерывен. Дискретный характер спектра возбуждений не означает, что ширины уровней в этом спектре равны 0. Поскольку каждый из возбужденных уровней спектра имеет конечное среднее время жизни τ , ширина уровня Г также конечна и связана со средним временем жизни соотношением, являющимся следствием соотношения неопределенности для энергии и времени Δ t·ΔE ≥ ћ :

На схемах спектров ядер указывают энергии уровней ядра в МэВ или кэВ, а также спин и четность состояний. На схемах указывают также, если возможно, изоспин состояния (поскольку на схемах спектров даны энергии возбуждения уровней , энергия основного состояния принимается за начало отсчета). В области энергий возбуждения E < E отд - т.е. при энергиях, меньших, чем энергия отделения нуклона, спектры ядер - дискретные . Это означает, что ширины спектральных уровней меньше расстояния между уровнями Г < Δ E.

Кабардин О.Ф. Ядерные спектры //Квант. - 1987. - № 3. - С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как вы знаете, атомные ядра состоят из нуклонов - протонов и нейтронов, между которыми действуют ядерные силы притяжения и кулоновские силы отталкивания. Что может произойти с ядром при его столкновении с другим ядром, частицей или гамма-квантом? Опыты Э. Резерфорда, выполненные в 1919 году, показали, например, что под воздействием альфа-частицы из ядра может быть выбит протон. В экспериментах, проведенных Д. Чедвиком в 1932 году, было установлено, что альфа-частицы могут выбивать из атомных ядер и нейтроны («Физика 10», § 106). Но всегда ли так заканчивается процесс столкновения? Не может ли атомное ядро поглотить энергию, полученную при столкновении, и перераспределить ее между входящими в его состав нуклонами, изменив тем самым свою внутреннюю энергию? Что будет происходить с таким ядром дальше?

Ответы на эти вопросы дали прямые опыты по изучению взаимодействия протонов с атомными ядрами. Их результаты очень похожи на результаты опытов Франка и Герца по изучению столкновений электронов с атомами («Физика 10», § 96). Оказывается, при постепенном увеличении энергии протонов сначала наблюдаются только упругие столкновения с атомными ядрами, кинетическая энергия не превращается в другие виды энергии, а лишь перераспределяется между протоном и атомным ядром как одной частицей. Однако, начиная с некоторого значения энергии протона, могут происходить и неупругие столкновения, при которых протон, поглощается ядром и полностью передает ему свою энергию. Ядро каждого изотопа характеризуется строго определенным набором «порций» энергии, которые оно может принять.

Превращение ядра азота с захватом альфа-частицы и испусканием протона.

Эти опыты доказывают, что ядра обладают дискретными спектрами возможных энергетических состояний. Таким образом, квантование энергии и ряда других параметров является свойством не только атомов, но и атомных ядер. Состояние атомного ядра с минимальным запасом энергии называется основным, или нормальным, состояния с избыточной энергией (по сравнению с основным состоянием) называются возбужденными.

Атомы обычно находятся в возбужденных состояниях примерно 10 -8 секунды, а возбужденные атомные ядра избавляются от избытка энергии за гораздо более короткое время - порядка 10 -15 - 10 -16 секунды. Как и атомы, возбужденные ядра освобождаются от избытка энергии, испуская кванты электромагнитного излучения. Эти кванты называются гамма-квантами (или гамма-лучами). Дискретному набору энергетических состояний атомного ядра соответствует дискретный спектр частот излучаемых ими гамма-квантов. Гамма-лучи представляют собой поперечные электромагнитные волны, такие же, как радиоволны, видимый свет или рентгеновские лучи. Они являются самым коротковолновым видом электромагнитного излучения из всех известных, и соответствующие им длины волн лежат в диапазоне примерно от 10 -11 м до 10 -13 м.

Энергетические состояния атомных ядер и переходы ядер из одного состояния в другое с поглощением или излучением энергии принято описывать с помощью энергетических диаграмм, аналогичных энергетическим диаграммам атомов («Физика 10», § 94). На рисунке представлена энергетическая диаграмма ядра изотопа железа - \(~^{58}_{26}Fe\), полученная на основе опытов по бомбардировке протонами. Заметим, что при качественном сходстве энергетических диаграмм атомов и ядер между ними есть существенные количественные различия. Если для перевода атома из основного состояния в возбужденное требуется энергия в несколько электронвольт, то для возбуждения атомного ядра необходима энергия порядка сотен тысяч или миллионов электронвольт. Это различие обусловлено тем, что ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, в значительной степени превосходят силы кулоновского взаимодействия электронов с ядром.

Диаграмма энергетических уровней ядра изотопа железа.

Способность атомных ядер самопроизвольно переходить из состояний с большим запасом энергии в состояние с меньшей энергией объясняет происхождение не только гамма-излучения, но и радиоактивного распада ядер.

Многие закономерности в ядерных спектрах можно объяснить, если воспользоваться так называемой оболочечной моделью строения атомного ядра. Согласно этой модели, нуклоны в ядре не перемешаны в беспорядке, а, подобно электронам в атоме, располагаются связанными группами, заполняя разрешенные ядерные оболочки. При этом протонные и нейтронные оболочки заполняются независимо друг от друга. Максимальные числа нейтронов: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 и протонов: 2, 8, 20, 28, 50, 82 в заполненных оболочках получили название магических. Ядра с магическими числами протонов и нейтронов обладают многими замечательными свойствами: повышенным значением удельной энергии связи, меньшей вероятностью вступления в ядерное взаимодействие, устойчивостью по отношению к радиоактивному распаду и т. п.

Переход ядра из основного состояния в возбужденное и возвращение его в основное состояние, с точки зрения оболочечной модели, объясняется переходом нуклона с одной оболочки на другую и обратно.

При большом числе достоинств оболочечная модель ядра не способна объяснить свойства всех ядер в различных типах взаимодействий. Во многих случаях более плодотворным оказывается представление о ядре как о капле ядерной жидкости, в которой нуклоны связаны ядерными силами, кулоновскими силами и силами поверхностного натяжения . Существуют и другие модели, но ни одна из предложенных до сих пор не может считаться универсальной.

А.Г. Акманов, Б.Г. Шакиров

ОСновы квантовых и оптоэлектронных приборов

УДК 621.378.1+621.383.4

Рецензенты

кафедра «Телекоммуникационные системы» УГАТУ

Маликов Р.Ф., доктор физико-математических наук,

профессор БГПУ

Протокол №24 от 24.06.2003г. пленума Совета УМО по образованию в

области телекоммуникации.

Акманов А.Г., Шакиров Б.Г.

А40 Основы квантовых и оптоэлектронных приборов. Учебное пособие.

Уфа: РИО БашГУ, 2003. - 129 с.

Данная работа является учебным пособием по дисциплинам «Оптоэлектронные и квантовые приборы и устройства», «Квантовая радиофизика» по специальностям «Физика и техника оптической связи» и «Радиофизика и электроника».

Рассмотрены физические основы, принцип действия и характеристики твердотельных, газовых и полупроводниковых лазеров, вопросы управления их параметрами. Изложены физические основы и характеристики элементов оптоэлектронных приборов.

УДК 621.378.1 + 621.383.4

ãАкманов А.Г., Шакиров Б.Г., 2003 г.

ã БашГУ, 2003 г.

ВВЕДЕНИЕ

Под квантовой электроникой как областью науки и техники понимается наука, изучающая теорию и метод генерации и усиления электромагнитных волн путем индуцированного излучения в термодинамически неравновесных квантовых системах (атомы, молекулы, ионы), свойства получаемых таким образом генераторов и усилителей и их применения.

Основу квантовой электроники составляют физические положения, сформулированные еще в 1916 г. А. Эйнштейном, который теоретически предсказал существование индуцированного излучения и указал на его особое свойство - когерентность вынуждающему излучению.

Возможность создания квантовых приборов была обоснована в начале 50-х годов. В 1954 г. в Физическом Институте АН СССР (Прохоров А. М., Басов Н, Г.) и в Колумбийском Университете (Таунс Ч.) были разработаны молекулярные квантовые генераторы (или мазеры1) СВЧ диапазона. Следующий, естественный для развития квантовой электроники шаг был сделан в направлении создания квантовых приборов оп­тического диапазона. Теоретическое обоснование такой возможности (Таунс Ч., Шавлов А., 1958 г.), предложение открытого резонатора в качестве колебательной системы в оптическом диапазоне (Прохоров А.М, 1958 г.) стимулировали экспериментальные исследования. В 1960 г. был создан лазер 1 на рубине (Мейман Т., США), в 1961 г. - лазер на смеси гелия с неоном (Джаван А., США), а в 1962 г. - первые полупроводниковые лазеры (США, СССР).

Оптоэлектроника (ОЭ) – это область науки и техники, связанная с разработкой и применением электронно-оптических устройств и систем для передачи, приема, обработки, хранения и отображения информации.

В зависимости от характера оптического сигнала различают когерентную и некогерентную оптоэлектронику. Когерентная ОЭ базируется на использовании источников лазерного излучения. К некогерентной ОЭ относят дискретные и матричные некогерентные излучатели и построенные на их основе индикаторные устройства, а также фотоприёмные устройства, оптопары, оптронные интегральные микросхемы и др.

Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

1. Временная и пространственная когерентность. Время когерентности может составить до 10 -3 с, что соответствует длине когерентности порядка 10 5 м (l ког =c ког), т.е. на семь порядков выше, чем для обычных источников света.

2. Строгая монохроматичность ( <10 -11 м).

3. Большая плотность потока энергии.

4. Очень малое угловое расхождение в среде.

КПД лазеров колеблется в широких пределах – от 0,01% (для гелий-неонового лазера) до 75% (для полупроводникового лазера), хотя для большинства лазеров КПД составляет 0,1-1 %.

Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее время широкое применение. Применение лазеров для обработки, резания и микросварки твердых материалов оказывается экономически более выгодным. Лазеры применяются для скоростного и точного обнаружения дефектов в изделиях, для тончайших операций (например, луч СО 2 -лазера в качестве бескровного хирургического ножа), для исследования механизма химических реакций и влияния на их ход, для получения сверхчистых веществ. Одним из важных применений лазеров является получение и исследование высокотемпературной плазмы. Эта область их применения связана с развитием нового направления – лазерного управляемого термоядерного синтеза. Лазеры широко применяются в измерительной технике. Лазерные интерферометры используются для сверхточных дистанционных измерений линейных перемещений, коэффициентов преломления среды, давления, температуры.

Широкое распространение лазерные источники излучения получили в технике связи.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛАЗЕРОВ

Усиление световой волны в лазерах основано на явлении индуцированного излучения фотона возбужденной частицей вещества (атомом, молеку­лой). Чтобы основную роль играло индуцированное излучение, необходимо перевести рабочее вещество (усили­вающую среду) из равновесного состояния в неравновесное, при котором создана инверсия населенностей энергетических уровней.

В качестве колебательной системы в лазерах используется так называемой открытый резонатор, представляющий собой систему из двух высокоотражающих зеркал. При помещении между ними рабочего вещества создается условие для многократного прохождения усиливаемого излучения через активную среду, и таким образом реализуется положительная обратная связь.

Процесс возбуждения активной среды с целью создания в ней инверсии населенностей называется накачкой, а физическая система, обеспечивающая этот процесс - системой накачки.

Таким образом, в структурной схеме любого типа лазера можно выделить три основных элемента: активную среду, систему накачки и открытый резонатор.

В соответствии с этим в I главе излагаются основы теории квантового усиления и генерации при взаимодействии светового излучения с веществом, методы накачки и теория открытого резонатора.

Оптическое излучение

Оптическим излучением или светом называют электромагнитные волны, длины волн которых заключены в интервале от единиц нанометров до сотен микрометров. Помимо воспринимаемого человеческом глазом видимого излучения (l =0,38-0,76 мкм), различают ультрафиолетовое (l =0,01-0,38 мкм) и инфракрасное (l =0,78-100 мкм) излучения.

Напомним некоторые положения и формулы волновой и квантовой оптики. Волновая оптика базируется на уравнениях классической электродинамики, основу которой составляют уравнения Максвелла:

[ E ]=rot E =

[ H ]=rot H = (1.1) где Е, D, Н, B – векторы напряженности и индукции соответственно электрического и магнитного полей (система (1.1) написана для случая отсутствия токов и зарядов в среде). В однородной изотропной среде D и B связаны с полями E и H соотношениями (в системе СИ):

D= ε 0 eE, B= μ 0 mH, (1.2) где e – относительная диэлектрическая, m - относительная магнитная проницаемости среды, e 0 – электрическая, m 0 – магнитная постоянные. Система (1.1) сводится к волновому уравнению для (или ): (1.3) Уравнение (1.3) имеет решение , (1.4) которое описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении, определяемым волновым вектором с фазовой скоростью:

(1.5)

где с= - скорость света в вакууме. Для немагнитной среды m=1 , n= и для скорости волны получим: (1.5а)

Объемная плотность энергии, переносимой электромагнитной волной, дается формулой: r=(1/2)ε 0 e E 2 + (1/2)μ 0 m H 2 = ε 0 e E 2 . (1.6)

Спектральная объемная плотность энергии r n определяетсясоотношением: (1.7)

Модуль вектора Умова-Пойнтинга (1.8)

определяет плотность потока световой энергии, .

Под интенсивностью света понимается усредненный по времени поток энергии (1.9)

Процессы поглощения и испускания света могут быть объяснены только в рамках квантовой оптики, которая рассматривает оптическое излучение в виде потока элементарных частиц – фотонов, не имеющих массы покоя и электрического заряда, обладающих энергией E ф =hn , импульсом p= hk и движущихся со скоростью света.

Плотность потока фотонов F=I/(hn)=ru/(hn) (1.10)

где [hn ]=Дж, [F ]=1/(м 2 с).

Энергетические состояния квантовой системы. Населенности квантовых уровней

Важнейшим свойством квантовых систем (ансамбль атомов, молекул) является то, что их внутренняя энергия может принимать только дискретные значения E 1 ,E 2 ,..E n у определяемые решениями соответствующих уравнений Шредингера. Совокупность возможных для данной квантовой системы энергетических уровней называется энергетическим спектром. На диаграмме энергетических уровней энергию выражают в Джоулях, обратных сантиметрах или электрон-вольтах. Состояние с наименьшей энергией, являющееся наиболее устойчивым, называют основным. Все другие состояния, которым соответствует большая энергия, называются возбужденными.

В общем случае можно представить, что несколько различных возбужденных состояний характеризуются одним и тем же значением внутренней энергии. В этом случае говорят, что состояния вырождены, а степень вырождения (или статистический вес уровня g i .) равна числу состояний.

Рассмотрим макросистему, состоящую из N 0 тождественных слабовзаимодействующих микросистем (атомов), обладающих определенным спектром энергетических уровней. Такой макросистемой является ак­тивная среда лазера.

Число атомов в единице объема, находящихся на данном энергетическом уровне i, называется населенностью этого уровня N i . Распределение населенностей по уровням в условиях термодинамического равновесия подчиняется статистике Больцмана:

(1.11)

где Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, g i – кратность вырождения уровня, , где Е i - энергия i –го квантового уровня. Из (1.11) следует, что , т.е. сумма населенностей всех энергетических уровней равна количеству частиц N 0 в рассматриваемом ансамбле.

В соответствии с (1.11) в основном состоянии с энергией Е 1 при термодинамическом равновесии находится наибольшее количество атомов, а населенности верхних уровней уменьшаются с ростом энергии уровня (рис.1.1). Отношение населенностей двух уровней в равновесном состоянии дается формулой: (1.12)

Для простых невырожденных уровней g 1 = g 2 =1 и формула (1.12) принимает вид: (1.12а)

Мгновенный, скачкообразный переход с уровня Е i на уровень Е j называется квантовым переходом. При Е i > Е j квантовая система отдает энергию, равную (E i -E j ), а при Е i < Е j - поглощает ее. Квантовый переход с испусканием или поглощением фотона называется оптическим. Энергия испущенного (поглощенного) фотона определяется соотношением Бора:

hn ij = Е i - Е j (1.13)

1.3 Элементарные процессы взаимодействия
оптического излучения с веществом

Рассмотрим более подробно квантовые переходы, которые могут происходить между двумя произвольно выбранными энергетическими уровнями, например 1 и 2 (рис.1.2), которым соответствует энергии E 1 и E 2 ­ и населенности N 1 и N 2 .

Рис. 1.2. Квантовые переходы в двухуровневой системе.

Возможны три типа оптических переходов: спонтанные ,вынужденные с поглощением ивынужденные с излучением.

Введем для этих вероятностных процессов количественные характеристики, как это впервые было сделано А. Эйнштейном.

Спонтанные переходы

Если атом (или молекула) находится в состоянии 2 в момент времени t=0 , то существует конечная вероятность того, что он перейдет в состояние 1, испустив при этом квант света (фотон) с энергией hn 21 =(E 2 -E 1) (рис.1.2а). Этот процесс, происходящий без взаимодействия с полем излучения, называется спонтанным переходом , а соответствующее излучение – спонтанным излучением . Вероятность спонтанных переходов пропорциональна времени, т.е. (dw 21) сп =A 21 dt , (1.14)

где А 21 – коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения и определяет вероятность перехода в единицу времени, =1/c.

Предположим, что в момент времени t населенность уровня 2 составляет величину N 2 . Скорость перехода этих атомов на нижний уровень вследствие спонтанного излучения пропорциональна вероятности перехода А 21 и населенности уровня, с которого происходит переход, т.е.

(dN 2 /dt) сп =-A 21 N 2. (1.15)

Из квантовой механики следует, что спонтанные переходы происходят из данного состояния только в состояния, лежащие по энергии ниже, т.е. из состояния 1 в состояние 2 спонтанных переходов нет.

Вынужденные переходы

Рассмотрим взаимодействие группы идентичных атомов с полем излучения, плотность энергии которого распределена равномерно по частотам вблизи частоты перехода. При воздействии на атом электромагнитного излучения резонансной частоты (n=ν 21 =(E 2 -E 1)/h ) существует конечная вероятность того, что атом перейдет из состояния 1 на верхний уровень 2, поглощая при этом квант электромагнитного поля (фотон) с энергией hn (рис.1.2б).

Разность энергий (E 2 -E 1) необходимая для того, чтобы атом совершал такой переход, берется из энергии падающей волны. В этом заключается процесс поглощения , который можно описать с помощью скоростного уравнения (dN 1 /dt) п =W 12 N 1 =r n B 12 N 1 , (1.16)

где N 1 – населенность уровня 1, W 12 =r v B 12 – вероятность поглощения в единицу времени, r v – спектральная объемная плотность энергии падающего излучения, В 12 – коэффициент Эйнштейна для поглощения.

Используется также другое выражение для вероятности W 12 в виде:

W 12 =s 12 F, (1.17)

где F – плотность потока падающих фотонов, s 12 – величина, называемая сечением поглощения , = м 2 .

Предположим теперь, что атом первоначально находится на верхнем уровне 2 и на вещество падает волна с частотой n=n 21 . Тогда существует конечная вероятность того, что эта волна инициирует переход атома с уровня 2 на уровень 1. При этом разность энергий (E 2 -E 1) выделится в виде электромагнитной волны, которая добавится к энергии падающей волны. Это и есть явление вынужденного (индуцированного) излучения .

Процесс вынужденного излучения можно описать с помощью скоростного уравнения: (dN 2 /dt) вын =W 21 N 2 =r n B 21 N 2 , (1.18)

где N 2 – населенность уровня 2, W 21 =r v B 21 – вероятность вынужденного перехода в единицу времени, B 21 - коэффициент Эйнштейнадлявынужденного перехода . И в этом случае для вероятности перехода справедливо соотношение: W 21 =s 21 F, (1.19)

где s 21 – сечение вынужденного излучения для перехода 2→1.

Между процессами спонтанного и вынужденного излучения имеется принципиальное отличие. Вероятности индуцированных переходов пропорциональны спектральной объемной плотности электромагнитного поля, а спонтанных от внешнего поля не зависят. В случае спонтанного излучения атом испускает электромагнитную волну, фаза которой не имеет определенной связи с фазой волны, излученной другим атомом. Более того, испущенная волна может иметь любое направление распространения.

В случае же вынужденного излучения, поскольку процесс инициируется падающей волной, излучение любого атома добавляется к этой волне в той же фазе. Падающая волна определяет также поляризацию и направление распространения испущенной волны. Таким образом, с ростом числа вынужденных переходов интенсивность волны возрастает, в то время как ее частота, фаза, поляризация и направление распространения остаются неизменными. Другими словами, в процессе вынужденных переходов из состояния E 2 в состояние E 1 происходит когерентное усиление электромагнитного излучения на частоте n 21 =(E 2 -E 1)/h. Разумеется, при этом происходят и обратные переходы E 1 ®E 2 с поглощением электромагнитного излучения.

Спонтанное излучение

Интегрируя выражение (1.15) по времени с начальным условием N 2 (t=0)=N 20 получим: N 2 (t)=N 20 exp(-A 21 t). (1.20)

Мощность спонтанного излучения находится перемножением энергии фотона hν 21 на количество спонтанных переходов в единицу времени:

P сп =hν 21 A 21 N 2 (t)V=P сп 0 exp(-A 21 t) (1.21)

где P сп 0 =hn 21 A 21 N 20 V, V – объем активной среды.

Введем понятие о среднем времени жизни атомов в возбужденном состоянии относительно спонтанных переходов. В рассматриваемой двухуровневой системе атомы, которые покидают возбужденное состояние 2 за время от t до t+Dt , очевидно, находились в этом состоянии на протяжении времени t . Число таких атомов равно N 2 A 21 Dt. Тогда их средняя продолжительность жизни в возбужденном состоянии определяется соотношением:

Представим формулу (1.22) в виде:

(1.21 а)

Величину t сп можно найти экспериментально, поскольку она фигурирует как параметр в законе затухания спонтанной люминесценции, определяемой формулой (1.21 а).

Похожая информация.